Le modèle exponentiel

Modèles démographiques - Chapitre 3

1. Un exemple d’évolution exponentielle

À partir des documents 1 et 2 p 266 du manuel ( Belin (2020) ), on s’intéresse à l’évolution de la population du mélibée. Les calculs effectués dans le document 2 montrent que l’effectif d’insectes \(N(n)\) l’année \(n\) vérifie la relation de récurrence suivante : \[N(n+1)=1,4N(n) \tag{1}\]

Papillon Mélibée

Cette relation permet de compléter le tableau suivant :

Année 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
\(N(n)\) 100

Nous obtenons le nuage de points suivant :

Evolution de la population du mélibée

L’observation de ce nuage de point permet de se convaincre qu’un modèle linéaire n’est pas adapté à cette situation, puisque les points ne sont pas alignés. De même, un calcul rapide permet de constater que les variations absolues \(N(n+1)-N(n)\) ne sont pas constantes. En effet, on a \(N(1)-N(0)=......\) et \(N(6)-N(5)=......\).

La formule ci-dessus (Éq. 1) montre que l’on obtient l’effectif d’une année en multipliant l’effectif de l’année précédente par le coefficient multiplicateur \(1,4\). L’évolution de la population du mélibée se caractérise donc par un coefficient multiplicateur constant et donc un taux de variation constant d’une période à l’autre. On parle alors de croissance exponentielle.

2. Modèle exponentiel discret

Définition : Modèle exponentiel

Le modèle exponentiel est le modèle utilisé pour décrire un phénomène d’évolution dont le taux de variation \(t\) est constant d’une période à l’autre. Il est caractérisé par un coefficient multiplicateur \(C\) constant.

Un modèle mathématique discret pour cette évolution peut alors être défini par une suite géométrique.

Par exemple, dans le cas du mélibée, nous avons défini :

  • \(N(0) = 100\) : effectif initial
  • Pour tout entier naturel \(n\), on note \(N(n)\) l’effectif après \(n\) années d’observation. On a la relation : \(N(n+1)=1,4N(n)\).
Définition : Suite géométrique

On dit qu’une suite de nombres \((u(n))\) est géométrique (ou qu’elle est en progression géométrique) lorsque chaque terme de cette suite s’obtient en multipliant le précédent par un même nombre \(q\) appelé raison.

\[u(n+1)=q\times u(n)\]

Une telle suite étant définie, il est possible de calculer directement la valeur de \(u(n)\) pour tout entier naturel \(n\) :

À savoir

Soit \((u(n))\) une suite géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(u(0)\). Alors pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[u(n)=u(0)\times q^n\]

Application : Dans le cas du mélibée, on a \(u(0)=100\) et \(q=1,4\). On peut donc calculer directement la valeur de \(u(n)\) pour tout entier naturel \(n\) : \(u(n)=\ldots\)

Après 20 ans d’observation, on a donc \(u(20)=\ldots\)

Après 50 ans d’observation, on a donc \(u(50)=\ldots\)

Important
  • On utilise un modèle exponentiel lorsque deux valeurs séparées par un même intervalle de temps sont multipliées par un même nombre. Cela correspond à une évolution à taux de variation constant.
  • Le modèle exponentiel est valable pour une phase de croissance dans laquelle les ressources sont disponibles sans limites. Il n’est en général, pas valable dans le temps long.

Sources utilisées

Belin, éd. 2020. Enseignement scientifique Terminale.